投稿の本文に含まれる絵文字のうち、直接表示・入力できる絵文字は、Unicodeの規格に含まれているものです。

🥺 👍 などが、Unicode絵文字です。

対応しているUnicodeのバージョンがあり、使える絵文字・使えない絵文字に違いはありますが、SNSだけでなく、いろんなところで汎用的に使えます。

投稿の本文に含まれる絵文字のうち、入力時はセミコロンと英数字で表現され、投稿後に見た目通り表示される絵文字は、カスタム絵文字です。

などが、カスタム絵文字です。自分の所属しているサーバに登録されている絵文字だけが使えます。

カスタム絵文字は、Mastodonで2017年9月19日にマージされ、Mastodon v2.0.0の新機能として2017年10月19日に一般提供が開始されました。
https://github.com/mastodon/mastodon/pull/4988

Misskeyにおいては、2018年3月25日にMastodonにインスピレーションを得てissueを立て、2018年11月1日に実装完了、Misskey 10.37.0としてリリースされたようです。
Custom emoji #3061
https://github.com/misskey-dev/misskey/pull/3061