fedibird.comは、WebUIの基本的な機能、APIアクセスなどについてはcloudflareを経由していません。直接サーバで捌いています。
ただし、メディアのキャッシュについてcloudflareを利用しています。（利用したりしてなかったりその時々で変わっています）
今回のようなcloudflareの障害については、添付メディアやカスタム絵文字などが表示されなくなりますが、基本的な機能は維持されます。
なお、cloudflareのDNSを利用しているため、今回の障害を上回る本当に致命的な障害が発生した場合は、全サービスがダウンすることもあり得ます。