공허한 참

살짝 다른 차원에서 확장해서 바라보는 얘기이긴 한데 그냥 첨언하자면 언어학의 하위 분야인 화용론에서 전제(Presuppositions)라는 주제랑 연결되는 것 같네요. 댓글에 프랑스 왕은 머머리다 예문도 써주신 걸 보니 더욱 더 그런 것 같고요. 간단하게 설명드리자면, 일단 한국어 예문으로 하면 살짝 오해의 소지가 있어^[1] 영어 예문을 갖고 쓰면 다음과 같이 생각해볼 수 있습니다.

• P: The King of France is bald.^[2]
• Q: There exists an entity that is King of France.

이 때 P의 명제가 참일 수 있는 이유는 Q를 전제로 깔고 가기 때문입니다. 이렇게 Q를 전제로 갖고 가면 P에 부정을 넣어도 (The King of France is not bald 혹은 ¬(The King of France is bald)) 여전히 그 명제는 참입니다. 하지만 실제 현실에서 Q는 거짓입니다. 왜냐하면 오늘날 프랑스는 군주국가가 아니니깐요. 그럼에도 불구하고 P는 여전히 참을 진리값으로 가지죠.

따라서 실제로 전제를 이렇게 정의하기도 합니다 (Levinson, 1983, p. 175).

• A sentence P sematically presupposes a sentence Q iff:
• (a) P ⊨ Q
• (b) ~P ⊨ Q

참고로 여기서 "⊨"는 "함의한다"를 지칭하는 기호입니다 (예: "하스켈은 함수형 언어다."란 문장은 "하스켈은 언어다"란 걸 함의하죠.).

그렇다면 Q가 전제되는 건 알겠는데, 이 진리값이 무엇이느냐에 대한 질문이 생길 수 있습니다. 이에 대해서 언어학자들은 보통 크게 두 가지로 봅니다. 하나는 참으로 간주하는 거고, 다른 하나는 참도 거짓도 아니다라고 보는 거죠. 전자같은 경우엔 어떻게 보면 기계적으로 바라보는 거고, 후자의 경우엔 참/거짓이라는 기존 이치논리(two-valued logic) 혹은 1 또는 0으로 하는 불 논리에서 확장해서 Kleene의 삼치논리(three-valued logic)로 가게 되죠.

참고로 전제 성립 여부 포함 화용론 전체에서 깔고 가는 가장 큰 가정이 하나 있는데, 이 경우에는 바로 해당 발화(utterance) P, 즉 '프랑스왕은 머머리다'라는 명제가 이루어질 때 화자와 청자가 프랑스에는 왕이란 개체가 존재한다(=Q)라고 암묵적으로 서로 동의한다라는 가정입니다.

---

1. 사실 문제가 영어 관사 'The'에서 시작되기 때문이라서 그렇습니다. ↩︎

2. 논리형으로 치환하면 다음과 같습니다: ∃x(KoF(x) & ∀y(KoF(y) → y=x) & Bald(x)) where KoF stands for "King of France". ↩︎

어떤 조건문을 만족하는 원소의 집합을 $Q$ 라고 해봅시다
그럼 $Q$의 임의의 부분집합 $P$ 의 원소는 $Q$의 원소이므로, 그 조건문을 만족할 겁니다
이 때, 공집합$\empty$은 모든 집합의 부분집합이죠?
따라서 공집합의 원소는 모든 조건문을 만족합니다

공허한 참(Vacuous truth)은 사실 좀더 포괄적인 개념입니다
가정이 거짓이면 명제는 항상 참이다라는 개념입니다
공허한 참이라고 부르니 어렵게 느껴지죠?
저는 항상 한국어 한정으로 '니 말이 진짜면 내일 해가 서쪽에서 뜨겠다' 참으로 이름을 바꿔야한다고 주장해왔습니다
가정(니 말)이 거짓이니 결론(해가 서쪽에서 뜨는 것)이 참이든 거짓이든 명제는 참이 되죠

이걸 공집합의 원소는 모든 명제를 만족한다 에 적용시켜볼까요?
이 명제를 좀더 조건문처럼 쓰기 위해 만약 (가정)이라면 (결론)이다 형태로 바꿔보죠
그럼 a가 공집합에 포함된다면, a는 모든 명제를 만족한다 가 됩니다
그런데, a가 공집합에 포함된다 는 거짓이죠?
따라서 해당 조건문은 가정 자체가 거짓인 공허한 참입니다